Herleitung der Schallgeschwindigkeit

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cryscar

Herleitung der Schallgeschwindigkeit

Beitragvon cryscar » 03.03.2011, 18:36

Die Frage stelle ich nach der Herleitung der Formel der Schallgeschwindigkeit in Gasen und ich beziehe mich auf folgende Seite:
Konrad Steible, Anne Götz: Longitudinale Schallwellen in Gasen und Metallen:
http://www.wirtschaftsphysik.de/e107_fi ... 1_v09d.pdf
- Die Herleitung fängt dort auf Seite 16 an.
Den Anfang mit der Druck und dem zweiten newtonschen Axiom kann ich verstehen, was mir allerdings Probleme bereitet, ist u. a. die Taylor-Entwicklung und das was folgt. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen, der die Herleitung vielleicht schon kennt?
Danke im voraus an alle die hier antworten.

Gruß

A.C.

Gast

Beitragvon Gast » 04.03.2011, 10:24

Hast du bei ebs schon nachgeschaut? Ist für mich immer die erste Anlaufstelle.

http://www.sengpielaudio.com

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alex
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Re: Herleitung der Schallgeschwindigkeit

Beitragvon alex » 04.03.2011, 11:43

Aus deiner gleichartigen Anfrage beim Physik-Forum vor zwei Wochen entnehme ich, dass du die zwölfte Klasse besuchst.

ebs1 (ebs im hiesigen Forum) hat dir hierzu erste Antworten gegeben, denen ich mich nur anschließen kann. Wieso, das möchte ich hier kurz erläutern.

Druckberechnungen und Zweites Newtonsches Axiom sind natürlich im Rahmen der Oberstufenmathematik genügend verstehbar. Mit der Taylorreihe hast du dir allerdings eine Aufgabe gestellt, an der ich selber vor über fast vierzig Jahren als Unterprimaner schon mal gescheitert bin.

Damals fragte ich (dabei ging es auch um die Schallgeschwindigkeit) zunächst meinen Physik-Leistungskurs-Lehrer, der verwies mich nach kurzer Erklärungszeit an meinen Mathe-Leistungskurs-Lehrer.

Als der versuchte, mir verständlich zu machen, was eine Taylorreihe ist, wie man sie entwickelt und wozu man sie verwenden kann (am Beispiel "sukzessive Approximation bei trigonometrischen Funktionen", soweit ich mich erinnere), entschied ich nach dreien seiner Gedankenschritte fürs erste, meine Frage aufs Studium zu vertagen.

Im Matheunterricht an der Hochschule verstand ich zwar die Taylorreihe, jedenfalls soweit, dass ich bei den Klausuren nicht durchfiel. Aber ich muss zugeben, dass ich sie seitdem als Tonmensch nie wieder gebraucht habe. Ich gestehe daher freimütig, dass ich bei diesem Thema ziemlich eingerostet bin und kaum eine direkte Hilfe sein kann.

Falls dir die Erläuterung der Taylorreihe bei Wiki nicht bereits genügend weiterhilft: Gibt es vielleicht einen guten Physik- oder Mathe-Lehrer in deiner Umgebung, den du befragen kannst?

Ich denke nämlich, dass es sehr förderlich sein kann, etwas komplexere Fragestellungen wie deine im direkten Gespräch zu erörtern. So kann man am besten herausfinden, was der Fragende bislang schon weiß und versteht, was er gerade eben noch verstehen kann, und was ihm noch nicht zugänglich ist. Und das spart viel unnötige Mühen bei der Aufgabe, eine für die jeweilige Situation des Fragenden maßgeschneiderte Antwort zu formulieren.

In diesem Sinne viel Erfolg,

alex
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Wolfus
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Beitragvon Wolfus » 04.03.2011, 12:47

Zum Verständnis brauchst du meiner Meinung nach an der Stelle nicht gleich die ganze Taylor-Reihe zu verstehen.

Lass es mich mal so veranschaulichen:

Wenn eine Funktion "genügend brav" ist (ausreichend oft differenzierbar), kann man von den Eigenschaften an einer Stelle auf den Wert an anderen schließen.

0. Näherung: In der unmittelbaren Nähe wird der Wert nicht total anders sein. Sofern die erste Ableitung nicht allzu groß ist, nimm den vorgefundenen Wert auch dort an (konstante Funktion als Näherung).

1. Näherung: Wenn die (1.) Ableitung besteht und sich nicht zu stark ändert (2.Ableitung), kann man als nächste Näherung die Tangente an dem bekannten Punkt nehmen (Tangente als Näherung)

2. Näherung: Wenn man die zweite Ableitung dazunimmt und die dritte nicht zu groß wird, etc. etc.

Alle Ableitungen zusammen ergeben mit den notwendigen Vorfaktoren und Potenzen von x-x0 (die lasse ich jetzt mal weg) die Taylor-Reihe.

Nebenbei: jetzt siehst du, was man unter z.B. "in 1. Näherung" versteht.

Bei der genannten Herleitung wird nur die erste Näherung verwendet. Wenn man anschließend (wie hier) differentiell weiterarbeitet, ist das Ergebnis trotzdem exakt. Die anderen Änderungen gehen für kleine dx alle gegenüber der berücksichtigten Ableitung gegen den Grenzwert 0, wegen der höheren Potenz von (dx)**n .

Hilft dir diese grobe Übersicht? Mehr brauchtst du nicht, um den genannten Schritt (Formel 69) zu verstehen.

cryscar

Herleitung der Schallgeschwindigkeit

Beitragvon cryscar » 04.03.2011, 22:20

Vielmals danke ich Alex und Wolfus für die Gedanken, die sie sich mit großer Sorgfalt um meine Anfrage gemacht haben.
Ja, ich bin in der 12. Klasse und erkenne, dass ich - wenn überhaupt - diese Frage mir noch einmal in meinem Studium an der TU machen werde. Stimmt, bei ebs von http://www.sengpielaudio.com konnte ich mir auch schon einige Gedankenanstöße um das Thema Schallgeschwindigkeit holen.

Gruß

A.C.


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